芸術や文学では、おそらく、美しさは、主観的または文化的に媒介されすぎるとみなされる、判断の基準または卓越性の基準として、近年その価値を失っています。 しかし、数学者にとって、永遠の真実としての美しさは決して時代遅れではありません。 「美しさは最初のテストです。この世界にい数学の恒久的な場所はありません」と、1941年にイギリスの数論者ゴッドフリーハーディは書いています。
数学の美しさを味わうには、まずお気に入りのパブに向かい、冷ややかなビールのジョッキを注文します。 紙のマットの上に3回置き、3つの結露の輪を形成します。3つの輪すべてが1点で交差するように、確実に結露させてください。 次に、仲間に尋ねます。他の3つの交差点をカバーするためにマグカップはどれくらいの大きさが必要ですか ほとんどの場合、巨大なマグカップだけがその目的に役立つと仮定します。 驚きの答え：同じマグカップ！ それは完全に絶対確実なソリューションです。 （2つの等しく有効なソリューションについては左の図を参照してください。それぞれの場合、黒丸は最初の3つのリングで、破線の円は4番目のリングで、他の3つの交点を覆うマグカップを表します。）
この定理は、1916年にロジャーA.ジョンソンによって公開されました。ジョンソンの円定理は、数学的な美しさの2つの必須要件を示しています。 まず、驚くべきことです。 ソリューションに同じサイズの円が再び表示されるとは思わないでしょう。 第二に、それは簡単です。 関連する数学的概念である円と半径は、時の試練に耐えてきた基本的なものです。 しかし、ジョンソンの定理は、ある重要な点で美容部門で不足しています。 最高の定理もまた深いものであり、多くの意味の層が含まれており、それらについてさらに学べば明らかになる。
この高水準の美にどのような数学的事実が当てはまりますか？ ドイツの数学者ステファン・フリードルは、グリゴリー・ペレルマンの幾何学定理を支持して主張しました。この定理については、2003年にのみ証明が示されました。スペース。 （これらの空間は、可能な代替宇宙と考えることができます。）「幾何学の定理」、フリードルは、「素晴らしい美しさのオブジェクトです。」
最も簡単な用語に要約すると、ほとんどの宇宙は私たちが高校で学ぶものとは異なる自然な幾何学的構造を持っていると述べています。 これらの代替宇宙はユークリッドではなく、平坦でもありません。 問題は、空間自体の曲率に関係しています。 これが何を意味するかを説明するさまざまな方法があります。 数学的に最も正確なものは、代替宇宙は平坦ではなく「双曲型」または「負の湾曲」であると言うことです。
数学者はその意味に取り組み始めたばかりです。 天体物理データは、私たち自身の宇宙が平らであることを示しています。 しかし、これらの代替宇宙では、平坦性は自然な状態ではありません。 ペレルマンの定理によれば、明らかに平坦な宇宙は驚くべき例外です。
定理が国際的な評判を集めたもう1つの理由は、数学者自身に関係しています。 2010年、マサチューセッツ州ケンブリッジにあるクレイ数学研究所からのブレークスルーにより、ロシア人は100万ドルの賞金を拒否しました。 明らかに、Perelmanにとって、数学の美しさは購入も支払いもできるものではありませんでした。 宇宙の理解を変えることは十分な見返りでした。
