3月20日に、アメリカ系カナダ人の数学者ロバートラングランズは、数学の生涯の功績を称え、アベル賞を受賞しました。 Langlandsの研究は、幾何学、代数、解析からの概念が、素数への共通のリンクによってどのようにまとめられるかを示しました。
ノルウェー王が5月にラングランズに賞を贈るとき、彼は素数、おそらく間違いなく数学で最大かつ最も古いデータセットを理解するための2, 300年の努力の中で最優秀賞を受賞します。 この「Langlandsプログラム」に専念する数学者として、私は素数の歴史と最近の進歩が彼らの秘密をいじめる方法に魅了されています。 何千年もの間数学者を魅了してきたのはなぜですか？
素数を研究するために、数学者は素数のみが残るまで次々と仮想メッシュを通して整数に負担をかけます。 このふるい分けプロセスにより、1800年代に数百万の素数の表が作成されました。 これにより、今日のコンピューターは数十億の素数を1秒以内に見つけることができます。 しかし、ふるいの核となる考え方は2, 000年以上も変わっていません。
数学者ユークリッドは紀元前300年に「素数は単位だけで測定されるものです」と書いています。これは、素数を1以外の小さい数で均等に割ることができないことを意味します。素数。 ユークリッドは素数の無限大を証明しました-それらは永遠に続きますが-素数を素早くリストするためのふるいを与えたのはエラトステネスだったという歴史が示唆しています。
これがふるいのアイデアです。 最初に、2の倍数、次に3、5、7の最初の4つの素数を除外します。 2から100までのすべての数でこれを行うと、素数のみが残ります。
2、3、5、および7の倍数をふるいにかけると、1〜100の間の素数のみが残ります（MH Weissman提供）。 8つのフィルタリングステップで、最大400個の素数を分離できます。168個のフィルタリングステップで、最大100万個の素数を分離できます。 それがエラトステネスのふるいの力です。
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素数の集計の初期の人物は、有用な数字の表の作成に専念したイギリスの数学者ジョン・ペルです。 彼はディオファントスの古代の算数の問題を解決しようとするだけでなく、数学的な真実を整理する個人的な探求によっても動機付けられました。 彼の努力のおかげで、100, 000までの素数は1700年代初期までに広く流通しました。 1800年までに、独立したプロジェクトが100万までの素数を集計しました。
退屈なふるいの手順を自動化するために、カール・フリードリヒ・ヒンデンブルクという名前のドイツの数学者は、調整可能なスライダーを使用して、テーブルのページ全体に一度に倍数を打ち抜きました。 別のローテクで効果的なアプローチでは、ステンシルを使用して倍数を特定しました。 1800年代半ばまでに、数学者のヤコブクリクは、最大1億個の素数をすべて見つけるという野心的なプロジェクトに着手しました。
Kulikが37の倍数をふるいにかけるために使用するステンシル。AÖAW、Nachlass Kulik、（画像提供：Denis Roegel、著者提供） Carl Friedrich Gaussが素数を独自に分析することを決定していなかった場合、1800年代のこの「ビッグデータ」は参照テーブルとしてのみ使用された可能性があります。 最大300万個の素数のリストを用意して、ガウスは一度に1つの「チリアッド」または1, 000単位のグループを数え始めました。 彼は1, 000までの素数を数え、それから1, 000から2, 000までの素数を数え、そして2, 000から3, 000までの素数を数えました。
ガウスは、「逆ログ」法に従って、彼が高く数えるにつれて、素数が次第に少なくなることを発見しました。 ガウスの法則は、素数の正確な数を示していませんが、かなり良い推定値を提供します。 たとえば、彼の法則では、1, 000, 000〜1, 001, 000の間の72個の素数を予測しています。 正しいカウントは75プライムで、約4パーセントの誤差です。
ガウスの最初の探査の1世紀後、彼の法則は「素数定理」で証明されました。パーセント誤差は、ますます素数の素数の範囲でゼロに近づきます。 今日の100万ドルの賞の問題であるリーマン仮説は、ガウスの推定が実際にどれほど正確であるかも記述しています。
素数定理とリーマン仮説が注目とお金を得るが、どちらも以前のより魅力的でないデータ分析をフォローアップした。
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今日、私たちのデータセットは、ハンドカットのステンシルではなくコンピュータープログラムから来ていますが、数学者はまだ素数で新しいパターンを見つけています。
2と5を除いて、すべての素数は数字1、3、7または9で終わります。1800年代では、これらの可能な最後の数字が同じ頻度であることが証明されました。 つまり、100万までの素数を見ると、約25パーセントが1で終わり、25パーセントが3で終わり、25パーセントが7で終わり、25パーセントが9で終わります。
数年前、スタンフォード数理論家のレムケ・オリバーとカンナン・サンダララジャンは、素数の最後の桁の奇妙な動きに不意を突かれました。 実験では、素数の最後の数字だけでなく、次の素数の最後の数字も調べました。 たとえば、23の後の次の素数は29です。最後の桁に3が表示され、次に9が表示されます。 素数の最後の桁に3、7よりも3、9の頻度が多く見られますか？
最大1億の連続する素数間の最後の桁のペアの頻度。 一致する色は、一致するギャップに対応します。 （MHワイスマン、CC BY） 数論者は多少の変動を期待していましたが、彼らが見つけたものは予想をはるかに超えていました。 プライムは異なるギャップで区切られています。 たとえば、23は29から6桁離れています。しかし、23や29のような3-then-9素数は、両方が6のギャップから来ている場合でも、7-then-3素数よりはるかに一般的です。
数学者はすぐにもっともらしい説明を見つけました。 しかし、連続する素数の研究に関しては、数学者は（ほとんど）データ分析と説得に限定されています。 証拠-物事が真実である理由を説明する数学者のゴールドスタンダード-数十年先のようです。
この記事はもともとThe Conversationで公開されました。
マーティン・H・ワイスマン、カリフォルニア大学サンタクルーズ校数学助教授
