統計学者と政治学者は、今月初めにイランの選挙の結果でフィールドデーを行ってきました。 選挙は不正でしたか？ 私たちは決して知らないかもしれませんが、数学に埋もれていて、そうだったのではないかと思わせます。 それでも、すべてが合法であると信じさせるには十分です。 私が特に興味深いと思ったいくつかの分析を以下に示します。
クリーンデータ
選挙の直後、データの合法性について疑念が提起されました。なぜなら、投票結果の新しいバッチがリリースされるたびに（米国と同様にイランでばらばらに出てきます）、マフムード・アフマディネジャド大統領に行く票の割合同じだった：67パーセント。 通常、データはクリーンではなく、結果が作成されたのかどうか疑問に思う人もいました。
しかし、スレートのウィスコンシン大学数学教授ヨルダン・エレンバーグによる分析では、データがより深く掘り下げられており、実際に予想よりも厄介であることを示しています。 結果は都市ごとには出ていませんが、いくつかの地域のデータを組み合わせた大規模なバッチであったため、アフマディネジャードの投票総数は本当に平均でした。 そして、Ellenbergが書いたように、大数の法則が規定しています。
広く変化する量の平均は、ほぼ完全に均一に見える結果をもたらすことができ、通常はそうします。 十分なデータが与えられると、外れ値は互いに打ち消し合う傾向があります。
エレンバーグは、データは「間違いなく真実であるほど乱雑である」と結論付けています。
ベンフォードの法則
いくつかの分析では、イランの選挙結果の最初の数字を調べて、ベンフォードの法則に準拠しているかどうかを確認しています。
多くの（すべてではない）実際のデータソースからの数字のリストでは、先頭の数字が特定の不均一な方法で分布しています。 この法則によると、最初の数字は1のほぼ3分の1であり、最初の数字の9が20回に1回未満になるまで、より大きな数字がより低い頻度で先頭の数字として現れます。 この最初の数字の分布は、値のセットが対数的に分布するたびに論理的に生じます。
ポーランドのニコラウスコペルニクス大学のBoudewijn Roukemaによるこのタックを使用した1つの分析では、Mendi Karroubiの7桁目から始まる投票数はBenfordの法則で予想される数の2倍近くあると結論付けられました。 さらに、ルーケマは、予想よりも1が少なく、2と3が多いアフマディネジャドの結果は、誰かが投票合計の先頭の1を2に変更して結果を操作することを選択した場合に、 3秒。 それはまた、数百万票によるアフマディネジャドの合計の過大評価につながっていただろう。
ミシガン大学の政治学者および統計学者であるウォルター・メバネは、ベンフォードの法則も分析に使用し、イランの選挙結果にいくつかの不規則性があることも発見しました。 しかし彼は、彼の結果は「広範囲にわたる詐欺と互換性がある」が、「実際に勝ったアフマディネジャドとも互換性がある」と認めている。
最後の2桁
コロンビア大学の政治学の2人の大学院生が、データの3番目のテイクを取りました。 ワシントンポストのオペにまとめた分析では、4つの候補者それぞれについて29の州からの投票数の下2桁を調べました（たとえば、14, 579票を受け取った場合、7と9だけが解析）。
選挙結果の最後の2桁はランダムノイズであり、数字の分布はかなり均等である必要があります。各数字は約10パーセントの時間で表示されます。 しかし、人間は貧弱な乱数ジェネレーターであり、数字を構成するとき、他の数字よりも頻繁にいくつかの数字を選択する傾向があります。 イランの結果では、数字の4パーセントのみが数字5で終わり、数字7は17パーセントの時間で表示されます。 これを大きく逸脱する結果は、100回の選挙ごとに約4回予想されます。
また、人間は、隣接していない数字を持つ数字を作成する際に問題を抱えています（つまり、23よりも72になる可能性が低い）が、これらの数字もランダムパターンに従う必要があり、ペアの約70％が隣接していない桁。 しかし、イランの結果では、たったの62パーセントです。 繰り返しますが、これらの結果は100選挙ごとに約4で予想されます。 しかし、2つの結果の組み合わせは、200回の選挙ごとに1回だけで予想されます。 ありそうもないかもしれませんが、不可能ではありません。
それはどこに私たちを残すのですか？ 報告された結果が本物かどうかはわからないかもしれません。 しかし、私の個人的なお気に入りのデータはすべて、選挙の正当性の問題につながる計算を必要としません。 イランのガーディアン評議会のスポークスマンであるAbbas-Ali Kadkhodaeiからのこの引用は、ほとんど誰もが考え直します：
Mohsen Resaeiが提供した統計によると、適格者の100％以上が170の都市で投票したと主張しており、正確ではありません。この事件は50の都市でのみ発生しています。
（イランの選挙結果分析の詳細については、fivethirtyeight.comでネイトシルバーをご覧ください）
