普段の生活の中で、アルミニウム缶やペットボトルの裏に印刷されている普遍的なシンボルのように、片側の物体に何百回も遭遇している可能性があります。
この数学的オブジェクトはメビウスの帯と呼ばれます。 1858年に1868年9月26日に亡くなったドイツの数学者アウグストメビウスによって1858年に発見されて以来、環境保護主義者、芸術家、エンジニア、数学者、その他多くの人々を魅了してきました。
メビウスは、1858年にライプツィヒ大学で天文学および高等力学の議長を務めていたときに、片側ストリップを発見しました。 （リストという名前の別の数学者が実際にそれを数ヶ月前に説明しましたが、1861年まで彼の作品を発表しませんでした。） 。
メビウスの帯を作成するには、紙の帯を取り、奇数回の半ねじりを与え、端をテープで留めてループを形成します。 鉛筆を取り、ストリップの中心に沿って線を引くと、線がループの両側に沿って走っているように見えます。
片面オブジェクトのコンセプトは、オランダのグラフィックデザイナーMC Escherのようなアーティストに影響を与えました。MCEscherの木版画「メビウスストリップII」は、赤アリがメビウスストリップに沿って次々とcう様子を示しています。
メビウスの帯には、ただ一つの驚くべき特性があります。 たとえば、ハサミを使用して、描いた線に沿ってストリップを半分にカットしてみてください。 2つの小さな片面メビウスの帯ではなく、代わりに1つの長い両面ループが残っていることに驚かれるかもしれません。 手元に紙がない場合、エッシャーの木版画「メビウスの帯I」は、メビウスの帯が中心線に沿って切断されたときに何が起こるかを示しています。
ストリップは確かに視覚的な魅力を持っていますが、その最大の影響は数学にあり、トポロジーと呼ばれる分野全体の発展に拍車をかけました。
トポロジストは、部品を切断したり接着したりせずに、移動、曲げ、引き伸ばし、またはねじれたときに保持されるオブジェクトのプロパティを研究します。 たとえば、絡み合ったイヤホンのペアは、位相的な意味では、絡み合っていないイヤホンのペアと同じです。これは、一方をもう一方に変更するのに、移動、曲げ、ねじりのみが必要なためです。 それらの間を変換するために、切断や接着は必要ありません。
トポロジ的に同じオブジェクトのもう1つのペアは、コーヒーカップとドーナツです。 両方のオブジェクトには穴が1つしかないため、一方を伸縮させるだけで他方を変形できます。
マグカップはドーナツに変形します。 （ウィキメディアコモンズ） オブジェクトの穴の数は、切断または接着によってのみ変更できるプロパティです。 オブジェクトの「属」と呼ばれるこのプロパティを使用すると、ドーナツには穴が1つあるのに対し、イヤフォンには穴がないため、1組のイヤフォンとドーナツはトポロジー的に異なると言えます。
残念ながら、メビウスの帯と、典型的なシリコン製の認識リストバンドのような両面ループには、どちらにも穴が1つあるように見えるため、少なくともトポロジーの観点からは、この特性では区別できません。
代わりに、メビウスの帯と両面ループを区別するプロパティは、方向性と呼ばれます。 穴の数と同様に、オブジェクトの向きは、切断または接着によってのみ変更できます。
シースルーの表面にメモを書いて、その表面を歩き回ることを想像してください。 歩行から戻ったときにいつでもメモを読むことができる場合、表面は方向付け可能です。 方向性のない表面では、あなたが書いた言葉が明らかに鏡像に変わっており、右から左にのみ読むことができることを見つけるためだけに散歩から戻ってくるかもしれません。 両面ループでは、旅はどこへ行っても、音符は常に左から右へ読みます。
メビウスの帯は向きを変えられないのに対し、両面ループは向きを変えることができるため、メビウスの帯と両面のループは位相的に異なることを意味します。
（デビッドガンダーマン作成） GIFが開始すると、時計回りにリストされているドットは黒、青、赤です。 ただし、メビウスの帯の周りに3ドット構成を移動して、図が同じ位置にあるようにできますが、時計回りにリストされたドットの色は赤、青、黒になります。 どういうわけか、構成はそれ自体の鏡像に変形しましたが、私たちがやったのは表面上でそれを動かすことだけです。 この変換は、両面ループのような方向付け可能な表面では不可能です。
方向性の概念には重要な意味があります。 エナンチオマーを取ります。 これらの化合物は、1つの重要な違いを除いて同じ化学構造を持っています：それらは互いの鏡像です。 たとえば、化学物質のL-メタンフェタミンはVicks Vapor Inhalersの成分です。 その鏡像であるD-メタンフェタミンは、クラスA違法薬物です。 私たちが方向性のない世界に住んでいたなら、これらの化学物質は区別できません。
8月のメビウスの発見は、自然界を研究する新しい方法を切り開きました。 トポロジーの研究は、驚くべき結果を生み出し続けています。 たとえば、昨年、トポロジーによって科学者は奇妙な新しい物質の状態を発見しました。 数学で最高の栄誉である今年のフィールズメダルは、トポロジーを数論などの他の分野と統合するのを手伝った数学者のAkshay Venkateshに授与されました。
この記事はもともとThe Conversationで公開されました。
デビッドガンダーマン博士 コロラド大学応用数学の学生、およびインディアナ大学リベラルアーツおよび慈善学の一等書記官のリチャード・ガンダーマン
